Casos degenerados: note que a interseção de um cone por um plano pode também ser uma reta, um par de retas concorrentes ou um ponto (basta que o plano passe pelo vértice do cone)
Elipse
1 – Definição:
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a > c.
Assim é que temos por definição:
PF1 + PF2 = 2 a
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse. Como, por definição,
a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.
2 – Equação reduzida da elipse
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:
PF1 + PF2 = 2.a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:
Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:
Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b2.x2 + a2.y2 = a2.b2, onde b2 = a2 – c2
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:
Veja a figura abaixo, que é elucidativa:
NOTAS:
1 – o eixo A1A2 é denominado eixo maior da elipse.
2 – o eixo B1B2 é denominado eixo menor da elipse.
3 – é válido que: a2 - b2 = c2, onde c é a abcissa de um dos focos da elipse.
4 – como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
5 – o ponto (0,0) é o centro da elipse.
6 – se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse passa a ser:
Hipérbole
1 – Definição:
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a < c.
Assim é que temos por definição:
½ PF1 - PF2 ½ = 2 a
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da hipérbole.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole. Como, por definição, a < c, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior que a unidade.
A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto que B1B2 é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na figura acima que é válida a relação:
c2 = a2 + b2
O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.
2 – Equação reduzida da hipérbole
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima, podemos escrever:
½ PF1 - PF2 ½ = 2 a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:
Quadrando a expressão acima, vem:
b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2 , conforme pode ser verificado na figura acima. Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:
Parábola
1 - Introdução
Se você consultar o Novo Dicionário Brasileiro Melhoramentos - 7ª edição, obterá a seguinte definição para a parábola:
"Curva plana, cujos pontos são eqüidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz) ou curva resultante de uma secção feita num cone por um plano paralelo à geratriz. Curva que um projétil descreve."
Esta definição não está distante da realidade do rigor matemático. (Os dicionários, são, via de regra, uma boa fonte de consulta também para conceitos matemáticos, embora não se consiga neles - é claro - a perfeição absoluta, o que, de uma certa forma, é bastante compreensível, uma vez que a eles, não cabe a responsabilidade pela precisão dos conceitos e definições matemáticas).
2 - Definição
Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:
Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:
y2 = 2px
onde p é a medida do parâmetro da parábola.
3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)
Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:
(y - y0)2 = 2p(x-x0)
3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem
Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será:
x2 = 2py
3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)
Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:
(x - x0)2 = 2p(y - y0)
Considere a circunferência representada no plano cartesiano , conforme abaixo , cujo centro é o ponto
C(xo , yo) e cujo raio é igual a R , sendo P(x , y) um ponto qualquer pertencente à circunferência .
Podemos escrever: PC = R e pela fórmula de distancia entre dois pontos, já vista em outro texto publicado nesta página, teremos: (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 , que é conhecida como Equação Reduzida da circunferência de centro C(x0,y0) e raio R. Assim, por exemplo, a equação reduzida da circunferência de raio 5 e centro no ponto C(2,4) é dada por: (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25.
Caso particular: Se o centro da circunferência coincidir com a origem do sistema de coordenadas cartesianas ou seja o ponto O(0,0) , a equação reduzida da circunferência fica:
x2 + y2 = R2
Para obter a Equação Geral da circunferência, basta desenvolver a equação reduzida.
Temos:
x2 - 2x . xo + xo2 + y2 - 2y . yo + yo2 - R2 = 0 .
Fazendo -2xo = D , -2yo = E e xo2 + yo2 - R2 = F , podemos escrever a equação
x2 + y2 + D x + E y + F = 0 (Equação geral da circunferencia).
Então , concluímos que quando os coeficientes de x2 e y2 forem unitários , para determinar as coordenadas do centro da circunferência , basta achar a metade dos coeficientes de x e de y , com os sinais trocados ou seja : xo = - D / 2 e yo = - E / 2 .
Se os coeficientes de x2 e de y2 não forem unitários , temos que dividir a equação pelo coeficiente de x2 que é sempre igual ao coeficiente de y2 , no caso da circunferência.
No caso da elipse já sabemos que:
excentricidade = e = c/a
Como é válido na elipse que a2 = b2 + c2 , vem que:
Ora, como c < a , vem imediatamente que e < 1. Também, como a e c são distâncias e portanto, positivas, vem que e > 0. Em resumo, no caso da elipse, a excentricidade é um número situado entre 0 e 1 ou seja:
0 < e < 1.
Observa-se que a elipse é tanto mais achatada quanto mais próximo da unidade estiver a sua excentricidade.
Raciocinando opostamente, se o valor de c se aproxima de zero, os valores de a e de b tendem a igualar-se e a elipse, no caso extremo de c = 0, (o que implica e = 0) transforma-se numa circunferência. A circunferência é então, uma elipse de excentricidade nula.
No caso da hipérbole , já sabemos que c2 = a2 + b2 e, portanto,
Neste caso, c > a, o que significa que a excentricidade de uma hipérbole é um número real maior do que a unidade, ou seja e > 1.
Observe na fórmula acima que se as medidas a e b forem iguais, ou seja
a = b, teremos uma hipérbole equilátera, cuja excentricidade será igual a e = Ö 2, resultado obtido fazendo a = b na fórmula acima.
Resumindo, observe que sendo e a excentricidade de uma cônica:
Considere o seguinte problema geral:
Determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano que satisfazem à condição PF = e . Pd, onde F é um ponto fixo do plano denominado foco e d uma reta denominada diretriz, sendo e uma constante real.
Veja a figura abaixo, para ilustrar o desenvolvimento do tema:
Temos então, pela condição dada, PF = e.Pd, onde e é uma constante real.
Usando a fórmula de distancia entre dois pontos, fica:
Quadrando e desenvolvendo ambos os membros da expressão acima, vem:
(x – f)2 + y2 = e2 .(x – d)2
x2 – 2.f.x + f2 + y2 = e2 (x2 – 2.d.x + d2)
x2 – e2.x2 – 2.f.x + e2.2.d.x + y2 + f2– e2.d2 = 0
x2(1 – e2) + y2 + (2e2d – 2f)x + f2 – e2.d2 = 0
Ou finalmente:
x2(1 – e2) + y2 + 2(e2d – f)x + f2 – e2d2 = 0
Fazendo e = 1 na igualdade acima, obteremos
y2 + 2(d – f).x + f2 – d2 = 0
Fazendo d = - f, vem:
y2 – 4fx = 0 ou y2 = 4fx, que é uma parábola da forma y2 = 2px, onde
f = p/2, conforme vimos no texto correspondente.
A constante e é denominada excentricidade.
Vê-se pois, que a excentricidade de uma parábola é igual a 1.
Apolônio, um matemático da Grécia antiga, descobriu uma maneira interessante para se obter cônicas.
Primeiramente, tomamos um cone de duas folhas e inscrevemos duas esferas no mesmo. Segundo ele, a cônica pode ser obtida a partir da interseção do cone com um plano secante ao mesmo, tangente a ambas as esferas. O mais interessante é que Apolônio conseguiu demonstrar que os focos da cônica obtida localizam-se exatamente sobre os pontos de tangência entre as esferas e o plano. Se variarmos os raios das esferas e conseqüentemente suas posições relativas, podemos obter qualquer tipo de cônica.
Quando temos cada esfera em uma folha do cone, o plano tangente às mesmas gera uma curva aberta, que possui os focos exteriores aos vértices, ou seja uma hipérbole. Já quando ambas as esferas estão localizadas em uma mesma folha, a interseção do plano com o cone é uma curva fechada, que possui os focos interiores aos vértices da mesma, ou seja, uma elipse. A parábola é obtida a partir de um caso especial de elipse, onde o raio de uma das esferas é infinito, ou seja, um dos focos da curva está no infinito.
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